在考研數學中,高等數學的中值定理是一個重要考點,也是一個難點,對它的理解和掌握程度會直接影響到考研數學成績的高低,因此考生應該給予足夠的重視。中值定理包括微分中值定理和積分中值定理,微分中值定理包括4個,分別是:羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理。為了幫助各位考生更好地理解和運用中值定理,小編將分別對它們進行分析和探討,下面我們來分析一下柯西中值定理及其運用,供大家參考。
柯西(Cauchy)中值定理及其意義:
柯西定理:

意義:柯西定理表示,兩個函數的變化量之比,與它們在某一點的變化率之比具有相同的值;
比較:與羅爾定理和拉格朗日中值定理相比,柯西定理沒有明確的幾何意義,而羅爾定理和拉格朗日定理都具有明確的幾何的意義。

因此,可以說拉格朗日定理是柯西定理的一個特例,而柯西定理則是拉格朗日定理的一種推廣。
柯西中值定理的運用:
1、在等式或不等式的證明中,對涉及到兩個函數的變化量與變化率的問題,可以考慮運用柯西中值定理;
2、如果關系式中只含一個函數
的變化量,但關于端點
的表達式可以可以表示成另一個函數的變化量的形式,可以先對原式進行恒等變形,然后運用柯西中值定理進行證明;
3、對比較復雜的證明問題,可能需要結合其它知識進行綜合證明,比如結合其它中值定理和函數的單調性等;
典型例題:



采用上面的方法,同樣可以證明以下兩題:

上面就是考研數學中利用柯西中值定理進行證明的方法介紹,供考生們參考借鑒。在以后的時間里,還會陸續向考生們介紹如何利用中值定理進行證明的其它方法,希望各位考生留意查看。最后預祝各位學子在2015考研中取得佳績。