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2015考研:線性代數復習要掌握“一二三”

來源:考試點考研網瀏覽次數:917發表于2014-05-27

[摘要] 線性代數,相對高數來說,是比較簡單的學科。但是考生的得分不是很理想,這主要是沒有掌握住線性代數的特點。要想攻破線性代數這道障礙,你需要掌握一條主線,兩種運算,三個工具。即所謂的“一二三”。

線性代數,相對高數來說,是比較簡單的學科。但是考生的得分不是很理想,這主要是沒有掌握住線性代數的特點: 內容抽象;概念多,性質多;內容縱橫交錯,前后聯系緊密,環環相扣,相互滲透。

一、內容抽象,尤其向量部分最為典型。在現實生活中,我們可以看到一維空間、二維空間甚至是三維空間,但是對于n維空間我們是難以想象的。向量主要研究的就是n維向量,所以這就需要較強的抽象思維和邏輯推理能力。這一點對于側重于計算能力培養的工科學生來說是一個難點。因此在學習的過程中,對所涉及的基本概念應當先理解好它們的定義,在理解基礎之上,才能深刻理解它們與其它概念的聯系以及它們的作用,一步步達到運用自如的境地。

二、概念多,性質多,定義多,定理多。例如有關矩陣的,就有相似矩陣、合同矩陣、正定矩陣、正交矩陣、伴隨矩陣等概念。在向量這部分,向量組線性相關的性質就10幾個。

三、符號多,運算法則多,有些運算法則與以前的完全不同。如數的運算滿足交換律、結合律和消去律;但是矩陣的運算與之有相同的也有不同的,矩陣的運算不滿足交換律和消去律,但是滿足結合律。所以這些在復習的時候一定要注意區分。

四、內容縱橫交錯,前后聯系緊密,環環相扣,相互滲透。線性代數內容之間的聯系是比較緊密的。相對高數來說,它們的聯系又是非常隱蔽的。以可逆矩陣為例,n階矩陣A是可逆的,從行列式的角度有其等價說法,就是n階矩陣A的行列式不等于0;從矩陣的角度它的等價說法是矩陣A的秩等于階數n;從向量的角度描述,就是矩陣的行向量組是線性無關的,同時列向量組也是線性無關的,并且任何一個n維列(行)向量都可以由該矩陣的列(行)向量組來線性表示;從特征值的角度描述,就是矩陣A的特征值都是非零的。可逆矩陣這個知識點在線性代數的各章節之間都有其等價說法,所以在復習整個線性代數時,要不斷的歸納總結,找出它們之間的聯系。也正是由于線性代數具有這樣的特點,這就給綜合命題創造了條件。

因此在學習的過程中,對所涉及的概念、性質及定理要理解,同時很多東西還要靠記憶,尤其要注意基本概念、基本方法之間的相互關系,有些問題是相互交錯,相互滲透,似螺旋上升,比如矩陣的秩與向量組的秩、線性方程組與向量組的線性組合、線性相關之間的關系。弄清這些關系,一方面可對所涉及的概念通過不斷重復而達到加深印象的目的,另一方面也能對問題有進一步的深入理解。

針對線性代數的這些特點,建議2015年的考生們在復習過程中綜合掌握一條主線,兩種運算,三個工具。這條主線就是解線性方程組。線性方程組是線性代數的主線,也是考試的重點。在求解線性方程組時主要涉及兩種運算:求行列式、矩陣的初等行(列)變換。要把握行列式與矩陣之間的區別和聯系,在進行運算的過程中保證計算的準確和速度。那三個工具就是行列式、矩陣、向量,他們貫穿整個線性代數的始終。

從2013年數學考試情況來看,有很多考生表現出了很高的數學造詣和較強的數學能力,但整體得分較低,說明考生的基礎還不夠扎實,學習和復習中還存在一些問題。

首先是推理論證能力沒有達到要求,其次是分析問題和解決問題的能力有一定的差距,特別是處理應用題和證明題的能力。考生對常見的試題類型和知識點得分情況較好,對大綱中要求的但在以前考試中出現頻率低的試題和內容,特別是一些立意和形式新穎的試題,得分情況就不好,說明考生知識掌握的不夠全面,有應試傾向,不利于考生能力的全面發展。老師提醒同學們還要注意綜合題目,因為在教學中,各部分內容是單獨講的,綜合訓練的時間較少,而研究生考試更多是多個知識點聯系在一起,要徹底理清各章的關系和各個知識點的聯系,綜合應用知識解決問題。另外運算能力不過關,會而不全,算而不對的情況在試卷中很常見,線性方程組解錯、特征值和特征向量算錯等,這也是考生在學習和復習中應著力解決的問題,計算認真是一項重要的任務。

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