縱觀考研數學多年來的考試大綱和考試真題試卷，總體上講變化不大。每年的考試范圍和知識點基本相同或相近，考試題型的變化幅度也不是很大，其中有一些重要題型是年年考或經常考，如果考生能完全掌握這些重要題型的解題思路和方法，并能熟練地解答這些題型，則對于順利地通過考研數學考試將有極大幫助。為了幫助各位考生學會并提高解答數學重要題型的水平，考研輔導老師針對歷年考研數學中的重要題型進行深入解剖，分析提煉出各種常考重要題型及方法，供考生們參考。下面主要分析高等數學中關于方程根的個數問題這類重要題型及解題方法。
題型：方程根的個數問題（一）
方程 =0的根，也就是函數 的零點，有關方程根的問題一般可以利用函數的有關理論加以分析和解決。
主要的分析解決工具包括：
1）函數零點定理：若函數 在 上連續，且 ，則至少存在一點 ，使 （ 稱為函數的零點）。
2）函數單調性：若函數 在 上連續且單調（單調增加或單調減少），則：1）當 時， 在 上有唯一零點；2）當 時， 在 上沒有零點。
3）羅爾中值定理：若函數 在 上連續，在 上可導，且 ，則至少存在一點 ，使 。
一般求解步驟：
1）先看有無明顯的實根；
2）引入相應函數，寫出定義域，判斷端點函數值和特殊點函數值的正負；
3）求導數，找出駐點和單調區間，討論在各單調區間上的實根個數。
典型例題
例1.求方程 不同實根的個數，其中k為參數 （2011年考研數學一第17題）
解析：顯然 =0是一個實根。令 ，則 ， ， ， ；若 ， 單調減少， 只有唯一零點，即原方程只有唯一實根x=0；
1）若 ， 在 上都是單調減少，且 ，故 只有唯一零點，原方程只有唯一實根x=0；
2）若 ，當 時， ， 單調增加，而 ，所以 ；當 時， ， 單調減少；由此得： 在區間 上各有一個零點，即原方程在這3個區間上各有一個實根。
綜上得：當 時，方程只有一個實根；當 時，方程有3個不同實根。
例2.設有方程 ，其中 為正整數，證明此方程存在唯一正實根 ，并證明當 時，級數 收斂 （2004年考研數學一第18題）
解析：設 ，則 ，由零點定理知 在（0,1）上至少有一個零點。而 ，故 在（0，+∞）上單調增加，因此， 在（0，+∞）上只存在唯一一個零點 ，且0< <1，由 ，得 ，當 時，級數 收斂，由正項級數的比較審斂法知， 收斂。
注：n次方程有n個根，因此方程 的負實根可能有很多個（可能還有復數根）。
上面就是考研數學之高等數學中的方程根的個數問題這類重要題型及解題方法，供考生們參考借鑒。在以后的時間里，老師們還會陸續向考生們介紹其它常考重要題型及解題方法，希望各位考生留意查看。最后預祝各位考生在2015考研中取得佳績。
題型：方程根的個數問題（二）
方程 =0的根，也就是函數 的零點，有關方程根的問題一般可以利用函數的有關理論加以分析和解決。這類問題的主要分析解決工具包括：函數零點定理，函數單調性，羅爾中值定理。關于這些理論，在前一篇文章中已經做了說明，下面主要看一些典型例題。
典型例題
例1.（2012年考研數學二第21題）
（Ⅰ）證明方程 （ 為整數）在區間 內有且僅有一個實根；
（Ⅱ）記（Ⅰ）中的實根為 ，證明 存在，并求此極限
解析：（Ⅰ）令 ，則 ， ， 連續，由零點定理得， 在區間 內有一個實根，又 ， 在（0，+∞）內單調增加，故 在區間 內僅有一個實根。
（Ⅱ）由 ， 得 ，而 在（0，+∞）內單調增加，故 ，即 單調減少，又 ，所以 存在，設 ，則由 ，得 ，因為 ，所以 ，上式取極限得 ，
例2.（2005年考研數學三第7題）
當 取下列哪個值時，函數 恰有兩個不同的零點（ ）
（A） 2 （B） 4 （C） 6 （D） 8
解析：函數定義域為（－∞，＋∞），令 ，得 ，因為 ，所以 為極大值， 為極小值。由 知，
當 或 時， 恰有兩個不同的零點，解之得 或 ，應選（B）
例3.（2000年考研數學一第九題）設函數 在[0,π]上連續，且 ， ，試證：在（0,π）內至少存在兩個不同的點 ，使 .
證：分析：由條件 和推廣的中值定理易知，存在 ，問題的關鍵是怎么利用第二個條件。為此，令 ，則 ， ，由推廣的中值定理得，存在 ，使 ， ，而 ，分別在 上利用羅爾定理可得，存在 ，使 ，即 。
例4.設 ，則 的不同實根個數為（ ）
解析：5個。由 ，根據羅爾定理知， 在區間（1,2），（2,3），（3,4）中各有1個實根，又x=3是 的二重根，故x=3是 的單根，同理，x=4是 的二重根。 是6次方程，共有6個實根（x=4是二重），不同實根個數為5.
上面就是考研數學之高等數學中的方程根的個數問題這類重要題型及解題方法，供考生們參考借鑒。在以后的時間里，老師們還會陸續向考生們介紹其它常考重要題型及解題方法，希望各位考生留意查看。最后預祝各位學子在2015考研中取得佳績。
