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考研數(shù)學(xué)證明題想拿滿分?試試這幾種解答法

來(lái)源:網(wǎng)絡(luò)瀏覽次數(shù):876發(fā)表于2018-10-22

[摘要] 十月已經(jīng)接近尾聲,考研復(fù)習(xí)后于全面沖刺復(fù)習(xí),查漏補(bǔ)缺的階段,小編整理分享如何求證六種證明題相關(guān)內(nèi)容,一起來(lái)看吧。

  考試難題一般出現(xiàn)在高等數(shù)學(xué),對(duì)高等數(shù)學(xué)一定要抓住重難點(diǎn)進(jìn)行復(fù)習(xí)。高等數(shù)學(xué)題目中比較困難的是證明題,在整個(gè)高等數(shù)學(xué),容易出證明題的地方如下:


1、數(shù)列極限的證明

  數(shù)列極限的證明是數(shù)一、二的重點(diǎn),特別是數(shù)二最近幾年考的非常頻繁,已經(jīng)考過(guò)好幾次大的證明題,一般大題中涉及到數(shù)列極限的證明,用到的方法是單調(diào)有界準(zhǔn)則。


2、微分中值定理的相關(guān)證明


  3、方程根的問(wèn)題

  包括方程根唯一和方程根的個(gè)數(shù)的討論。


  4、不等式的證明


  5、定積分等式和不等式的證明

  主要涉及的方法有微分學(xué)的方法:常數(shù)變異法;積分學(xué)的方法:換元法和分布積分法。


  6、積分與路徑無(wú)關(guān)的五個(gè)等價(jià)條件

  這一部分是數(shù)一的考試重點(diǎn),最近幾年沒設(shè)計(jì)到,所以要重點(diǎn)關(guān)注。


  以上是容易出證明題的地方,同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)的時(shí)候重點(diǎn)歸納這類題目的解法。那么,遇到這類的證明題,我們應(yīng)該用什么方法解題呢?


  1、結(jié)合幾何意義記住基本原理


  知道基本原理是證明的基礎(chǔ),知道的程度(即就是對(duì)定理理解的深入程度)不同會(huì)導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16(1)是證明極限的存在性并求極限。


  只要證明了極限存在,求值是很容易的,但是如果沒有證明第一步,即使求出了極限值也是不能得分的。因?yàn)閿?shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的,如果第一步未得到結(jié)論,那么第二步就是空中樓閣。


  這個(gè)題目非常簡(jiǎn)單,只用了極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則之一:?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個(gè)準(zhǔn)則,該問(wèn)題就能輕松解決,因?yàn)閷?duì)于該題中的數(shù)列來(lái)說(shuō),"單調(diào)性""有界性"都是很好驗(yàn)證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多,更多的是要用到第二步。


  2、借助幾何意義尋求證明思路


  一個(gè)證明題,大多時(shí)候是能用其幾何意義來(lái)正確解釋的,當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。


  如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個(gè)關(guān)于中值定理的證明題,可以在直角坐標(biāo)系中畫出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖,再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn):兩個(gè)函數(shù)除兩個(gè)端點(diǎn)外還有一個(gè)函數(shù)值相等的點(diǎn),那就是兩個(gè)函數(shù)分別取最大值的點(diǎn)(正確審題:兩個(gè)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個(gè)點(diǎn))之間的一個(gè)點(diǎn)。這樣很容易想到輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有三個(gè)零點(diǎn),兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。


  3、逆推法


  從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題,該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問(wèn)題:即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。


  在判定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)需借助導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性之間的關(guān)系,正常情況只需一階導(dǎo)的符號(hào)就可判斷函數(shù)的單調(diào)性,非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況),這時(shí)需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性,再用一階導(dǎo)的符號(hào)判定原來(lái)函數(shù)的單調(diào)性,從而得所要證的結(jié)果。該題中可設(shè)F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要證的不等式。


  對(duì)于那些經(jīng)常使用如上方法的考生來(lái)說(shuō),利用三步走就能輕松收獲數(shù)學(xué)證明的12分,但對(duì)于從心理上就不自信能解決證明題的考生來(lái)說(shuō),卻常常輕易丟失12分,后一部分同學(xué)請(qǐng)按“證明三步走”來(lái)建立自信心,以阻止考試分?jǐn)?shù)的白白流失。


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