一、考研數學基本信息

 

  ●考試時間：3小時

 

  ●考試題型：

 

  考研數學試卷共23道題，其中選擇題8道，都是單選題，填空題6道，解答題9道，其中含部分證明題，試卷總分是150分。

 

  ●考試類別：

 

  考研數學主要分為3類：數學（一）、數學（二）、數學（三），另外還有一些其它非主流的類別，如農學數學等。

 

  ●考試范圍：

 

  數學（一）和數學（三）的考試范圍包括高等數學和線性代數、概率統計這三門課程，數學（二）只考高等數學和線性代數兩門課程，其中不同類別的具體考試內容有些差異，詳細區別可參看考研數學考試大綱。

 

  在三類考試中，線性代數和概率統計都是各占22%的比例，其余部分則是高等數學，其中數學（一）和數學（三）中的高等數學占比為56%，數學（二）中的高等數學占比為78%，三類考試中線性代數的考試內容相差不大。

 

  ●考研數學復習資料主要包括以下幾種：

 

  ①教材：通過教材對考研內容進行細致和全面系統的學習，為后續復習打下一個良好的基礎。教材上的大部分習題都應該做，具體教材可以使用大一和大二自己使用的數學教材，或者目前主流的考研復習教材，如同濟大學的高等數學（上、下冊，第七版）和線性代數（第六版），以及浙江大學的概率論與數理統計（第四版）。

 

  ②講義：通過輔導講義對考試內容和常考題型及方法進行全面復習。如文都教育編寫的考研數學輔導講義，包括：高等數學、線性代數和概率統計輔導講義。

 

  ③綜合指導書：就是考研數學復習大全之類的書，宗旨是幫助大家建立數學理論體系和方法體系，使用時間是上半年和暑假，使用方法是一邊聽課一邊看書，如果是在基礎階段參考，有些看不懂沒關系，后期強化階段再理解消化。

 

  ④練習題：通過大量練習使考生熟練地掌握各種解題方法和技巧。如接力題典1800，在基礎復習階段做其中基礎篇的習題，在強化階段做綜合提高篇的習題。

 

  ⑤真題：通過做真題來提高考生在實戰中的解題能力和心里上的適應性。

 

  二、通過18考研數學真題，洞察命題規律

 

  1、2018考研數學試題的特點

 

  ①堅持以考試大綱為指導

 

  2018考研大綱是在今年的9月15號發布的，縱觀整套試卷，無論是數一、數二還是數三，從試題結構、分值比例還是考試內容，都完全遵從考試大綱。包括數一的假設檢驗、旋度、曲面積分，數二的曲率，數三的差分方程，都是大綱規定的考察內容。

 

  ②堅持以真題重點為核心

 

  給大家舉個例子；數二的第17題，數三的第16題，考察二重積分的計算；對數二數三，二重積分的計算在往年試卷中，幾乎每年必考，是重點.今年的試卷上再次出現。數一的第17題考查曲面積分的計算。對于數一，曲線積分、曲面積分的計算，是重點，2018年又一次考到。

 

  ③堅持以往年真題為參考

 

  像數一和數三的第19題和數二的第21題都在考查數列極限，先證明數列極限存在，再求極限。和2006年數一的第16題，數二的第18題非常類似，解題方法、解題思路都沒有變；這樣的題，每年都有很多，一定要引起高度重視。

 

  2、2019考研數學復習指導建議

 

  ①重視解題方法

 

  例如剛才提到二重積分的計算，是重點題型，幾乎每年必考。見到二重積分的計算，我們首先應該想到選擇坐標系，直角坐標和極坐標.特別是當所求積分區域為圓、圓的一部分、圓環或被積函數中有

 

  時，用極坐標比較簡單。在用直角坐標時，我們要注意選擇積分次序，盡量避免分段。

 

  ②提高計算能力

 

  數學離不開數字，更離不開計算，考研數學滿分150，只有個別考察概念的題目不需要計算，剩下140多分的題目都需要計算，包括很多證明題也是在變相的考察計算能力。希望大家從現在開始，養成一個仔細、認真的做題習慣，力爭會一個對一個，只有這樣，我們最后的考研數學成績才能達到我們預期的目標。

 

  ③研究歷年真題

 

  前面也給大家提到，歷年真題具有非常高的重復性，很多年份就變個數字，解題方法和解題思路都不變，我們一定要對歷年真題給以高度重視，認真研究，對做錯的題目多做幾遍，對不會的題目找到解題方法，加以歸納總結。

 

  對于2019考研的學生，利用接下來的寒假時間系統復習高等數學的上下冊，畢竟高等數學在整個考研數中的重要性和難度都是最大的。

 

  三、考研數學三大科目的解題思路

 

  ?高數解題的四種思維定勢

 

  第一句話：在題設條件中給出一個函數f(x)二階和二階以上可導，“不管三七二十一”，把f(x)在指定點展成泰勒公式再說。

 

  第二句話：在題設條件或欲證結論中有定積分表達式時，則“不管三七二十一”先用積分中值定理對該積分式處理一下再說。

 

  第三句話：在題設條件中函數f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，則“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理處理一下再說。

 

  第四句話：對定限或變限積分，若被積函數或其主要部分為復合函數，則“不管三七二十一”先做變量替換使之成為簡單形式f(u)再說。

 

  ?線性代數解題的八種思維定勢

 

  第一句話：題設條件與代數余子式Aij或A*有關，則立即聯想到用行列式按行(列)展開定理以及AA*=A*A=|A|E。

 

  第二句話：若涉及到A、B是否可交換，即AB＝BA，則立即聯想到用逆矩陣的定義去分析。

 

  第三句話：若題設n階方陣A滿足f(A)=0，要證aA+bE可逆，則先分解因子aA+bE再說。

 

  第四句話：若要證明一組向量α1，α2，…，αS線性無關，先考慮用定義再說。

 

  第五句話：若已知AB＝0，則將B的每列作為Ax=0的解來處理

 

  第六句話：若由題設條件要求確定參數的取值，聯想到是否有某行列式為零再說。

 

  第七句話：若已知A的特征向量ξ0，則先用定義Aξ0＝λ0ξ0處理一下再說。

 

  第八句話：若要證明抽象n階實對稱矩陣A為正定矩陣，則用定義處理一下再說。

 

  ?概率解題的九種思維定勢

 

  第一句話：如果要求的是若干事件中“至少”有一個發生的概率，則馬上聯想到概率加法公式；當事件組相互獨立時，用對立事件的概率公式

 

  第二句話：若給出的試驗可分解成（0－1）的n重獨立重復試驗，則馬上聯想到Bernoulli試驗，及其概率計算公式

 

  第三句話：若某事件是伴隨著一個完備事件組的發生而發生，則馬上聯想到該事件的發生概率是用全概率公式計算。關鍵：尋找完備事件組

 

  第四句話：若題設中給出隨機變量X~N則馬上聯想到標準化~N(0，1)來處理有關問題。

 

  第五句話：求二維隨機變量（X，Y）的邊緣分布密度的問題，應該馬上聯想到先畫出使聯合分布密度的區域，然后定出X的變化區間，再在該區間內畫一條//y軸的直線，先與區域邊界相交的為y的下限，后者為上限，而的求法類似。

 

  第六句話：欲求二維隨機變量（X，Y）滿足條件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，應該馬上聯想到二重積分的計算，其積分域D是由聯合密度的平面區域及滿足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的區域的公共部分。

 

  第七句話：涉及n次試驗某事件發生的次數X的數字特征的問題，馬上要聯想到對X作（0－1）分解。即令

 

  第八句話：凡求解各概率分布已知的若干個獨立隨機變量組成的系統滿足某種關系的概率（或已知概率求隨機變量個數）的問題，馬上聯想到用中心極限定理處理。

 

  第九句話：若為總體X的一組簡單隨機樣本，則凡是涉及到統計量的分布問題，一般聯想到用卡方分布，t分布和F分布的定義進行討論。

 

  四、兩大題型解題方法

 

  1、單選題

 

  單選題的解題方法總結一下，也就下面這幾種。

 

  ●方法1：直推法

 

  直推法即直接分析推導法。直推法是由條件出發，運用相關知識，直接分析、推導或計算出結果，從而作出正確的判斷和選擇。計算類選擇題一般都用這種方法，其它題也常用這種方法，這是最基本、最常用、最重要的方法。

 

  ●方法2：反推法

 

  反推法即反向推導或反向代入法。反推法是由選項(即選擇題的各個選項)反推條件，與條件相矛盾的選項則排除，相吻合的則是正確選項，或者將某個或某幾個選項依次代入題設條件進行驗證分析，與題設條件相吻合的就是正確的選項。

 

  ●方法3：反證法

 

  在選擇題的4個選項中，若假設某個選項不正確(或正確)可以推出矛盾，則說明該選項是正確選項(或不正確選項)。選擇先從哪個選項著手證明，須根據題目條件具體分析和判斷，有時可能需要一些直覺。

 

  ●方法4：反例法

 

  如果某個選項是一個命題，要排除該選項或說明該命題是錯誤的，有時只要舉一個反例即可。舉反例通常是用一些常用的、比較簡單但又能說明問題的例子。如果大家在平時復習或做題時適當注意積累一下與各個知識點相關的不同反例，則在考試中可能會派上用場。

 

  ●方法5：特例法(特值法)

 

  如果題目是一個帶有普遍性的命題，則可以嘗試采取一種或幾種特殊情況、特殊值去驗證哪些選項是正確的、哪些是錯誤的，或者哪些極有可能是正確的或錯誤的，從而做出正確的選擇。

 

  ●方法6：數形結合法

 

  根據條件畫出相應的幾何圖形，結合數學表達式和圖形進行分析，從而做出正確的判斷和選擇。這種方法常用于與幾何圖形有關的選擇題，如：定積分的幾何意義，二重積分的計算，曲線和曲面積分等。

 

  ●方法7：排除法

 

  如果可以通過一種或幾種方法排除4個選項中的3個，則剩下的那個當然就是正確的選項，或者先排除4個選項中的2個，然后再對其余的2個進行判斷和選擇。

 

  ●方法8：直覺法

 

  如果采用以上各種方法仍無法作出選擇，那就憑直覺或第一印象作選擇。雖然直覺法不是很可靠，但可以作為一種參考，況且人的直覺或第一印象有時還是有一定效果的。

 

  在以上方法中，基本的方法是直推法，就是運用數學基本知識和方法進行分析判斷，從四個選項中找出符合要求的那個選項；排除法是對所有考試中做選擇題都適用的方法，是一種普遍性的方法；反例法是針對以數學命題作為選項的題目很有用和有效的一種方法，運用得當可以很快找出答案；數形結合法則是針對與幾何圖形有關的題目很有用的一種方法。

 

  2、大題

 

  接下來提供給大家幾個大題的答題技巧，大家認真領會方法，要做到活學活用。

 

  ●踩點得分

 

  對于同一道題目，有的人解決得多，有的人解決得少。為了區分這種情況，閱卷評分辦法是懂多少知識就給多少分，這種方法我們叫它“踩點給分”.

 

  鑒于這一情況，考試中對于難度較大的題目采用一定的策略，其基本精神就是會做的題目力求不失分，部分理解的題目力爭多得分。對于會做的題目，要解決“會而不對，對而不全”這個老大難問題。

 

  有的考生答案雖然對，但中間有邏輯缺陷或概念錯誤，或缺少關鍵步驟。因此，會做的題目要特別注意表達的準確、考慮的周密、書寫的規范、語言的科學，防止被“分段扣點分”。

 

  對于考生會做的題目，閱卷老師則更注意找其中的合理成分，分段給點分，所以“做不出來的題目得一二分易，做得出來的題目得滿分難”。對絕大多數考生來說，更為重要的是如何從拿不下來的題目中得點分。

 

  有什么樣的解題策略，就有什么樣的得分策略。其實你要做的是認認真真把你解題的真實過程原原本本寫出來，就是最好的得分技巧。

 

  ●大題拿小分

 

  如果遇到一個很困難的問題，確實啃不動，一個聰明的解題策略是，將它們分解為一系列的步驟，或者是一個個小問題，先解決問題的一部分，能解決多少就解決多少，能演算幾步就寫幾步，尚未成功不等于失敗。

 

  特別是那些解題層次明顯的題目，或者是已經程序化了的方法，每進行一步得分點的演算都可以得分，最后結論雖然未得出，但分數卻已過半，這叫“大題拿小分”，確實是個好主意。

 

  卡殼處先留白，以后推前：解題過程卡在某一過渡環節上是常見的。這時，我們可以先承認中間結論，往后推，看能否得到結論。如果不能，說明這個途徑不對，立即改變方向；如果能得出預期結論，就回過頭來，集中力量攻克這一“卡殼處”。

 

  由于考試時間的限制，“卡殼處”的攻克來不及了，那么可以把前面的寫下來，再寫出“證實某步之后，繼續有……”一直做到底，這就是跳步解答。

 

  也許，后來中間步驟又想出來，這時不要亂七八糟插上去，可補在后面，“事實上，某步可證明或演算如下”，以保持卷面的工整。若題目有兩問，第一問想不出來，可把第一問作“已知”，“先做第二問”，這也是跳步解答。

 

  ●以退求進

 

  “以退求進”是一個重要的解題策略。如果你不能解決所提出的問題，那么，你可以從一般退到特殊，從抽象退到具體，從復雜退到簡單，從整體退到部分，從較強的結論退到較弱的結論。總之，退到一個你能夠解決的問題。

 

  為了不產生“以偏概全”的誤解，應開門見山寫上“本題分幾種情況”。這樣，還會為尋找正確的、一般性的解法提供有意義的啟發。這個技巧需要同學們做題做到一定境界來體會，如果可以做到這一步，那么什么難題都不是難題了。